Математика и искусство

мини
Математика и искусство обычно рассматриваются как очень разные дисциплины - одна посвящена абстрактному мышлению, другая чувству. Но иногда эти дисциплины движутся параллельными курсами и результаты контактов между ними просто поразительны.

От исламских плиток до хаотических узоров Джексона Поллока мы можем видеть замечательное сходство между искусством и математическими исследованиями, благодаря которым они возникают. Эти два способа мышления не совсем одинаковы, но, что интересно, часто один из них, кажется, предвосхищает другой.

Разве искусство не подстегивает иногда математические открытия? На этот вопрос нет простого ответа, но в некоторых случаях он кажется очень вероятным.

Узоры в Альгамбре


Рассмотрим Исламский орнамент, например, найденный в Альгамбре в Гранаде, Испания.

В XIV и XV веках Альгамбра служила дворцом и гаремом берберских монархов. Для многих посетителей это место так же близко к раю, как и все на земле: ряд открытых двориков с фонтанами, окруженных аркадами, которые обеспечивают укрытие и тень. Потолки лепятся в сложных геометрических узорах, напоминающих сталактиты. Венцом славы является орнамент в красочной плитке на окружающих стенах, который ослепляет глаз гипнотическим образом, что странно блаженно. Подобно музыке, узоры поднимают зрителя в почти внетелесное состояние, своего рода небесный восторг.

Математика и искусство
Плитка в Альгамбре

Это триумф искусства – и математического мышления. Орнамент исследует раздел математики, известный как черепица, которая стремится полностью заполнить пространство правильными геометрическими узорами. Математика показывает, что плоская поверхность может быть регулярно покрыта симметричными фигурами с тремя, четырьмя и шестью сторонами, но не фигурами с пятью сторонами.

Также можно комбинировать различные формы, используя треугольные, квадратные и шестиугольные плитки, чтобы полностью заполнить пространство. Альгамбра упивается сложными комбинациями такого рода, которые трудно рассматривать как устойчивые, а не движущиеся. Они, кажется, кружатся у нас перед глазами. Они приводят наш мозг в действие, и, глядя на них, мы выстраиваем и перестраиваем их паттерны в различные конфигурации.

Эмоциональное переживание? Очень даже. Но что интересно в таких исламских тилингах, так это то, что работы анонимных художников и ремесленников также демонстрируют почти совершенное владение математической логикой. Математики выделили 17 типов симметрии: двусторонняя симметрия, вращательная симметрия и так далее. По меньшей мере 16 из них изображены на плитах Альгамбры, почти как в учебнике.

Эти узоры не только красивы, но и математически точны. Они исследуют фундаментальные характеристики симметрии удивительно полным образом. Математики, однако, пришли к своему анализу принципов симметрии только через несколько столетий после того, как были установлены плитки Альгамбры.

Квазикристаллические плитки


Как бы ни были они ошеломляющи, украшения Альгамбры, возможно, были превзойдены шедевром в Персии. Там в 1453 году неизвестные мастера из храма Дарби-и Имама в Исфахане обнаружили квазикристаллические узоры. Эти паттерны обладают сложными и загадочными математическими свойствами, которые не были проанализированы математиками до открытия тилингса Пенроуза в 1970-х годах.

Такие узоры заполняют пространство полностью правильными формами, но в конфигурации, которая никогда не повторяется – на самом деле, бесконечно не повторяется – хотя математическая константа, известная как Золотое сечение, встречается снова и снова.

Даниэль Шектман получил Нобелевскую премию 2001 года за открытие квазикристаллов, которые подчиняются этому закону организации. Этот прорыв заставил ученых пересмотреть свои представления о самой природе материи.

Математика и искусство
Лазерная резка плитки Гирих

В 2005 году гарвардский физик Питер Джеймс Лу показал, что с помощью плиток гириха можно относительно легко генерировать такие квазикристаллические паттерны. Плитки Girih объединяют несколько чистых геометрических фигур в пять узоров: правильный десятиугольник, неправильный шестиугольник, галстук-бабочка, ромб и правильный пятиугольник.

Каков бы ни был метод, ясно, что квазикристаллические узоры в Дарби-И Имаме были созданы мастерами без углубленного обучения математике. Математикам потребовалось еще несколько столетий, чтобы проанализировать и сформулировать то, что они делали. Другими словами, интуиция предшествовала полному пониманию.

Перспективная и неевклидова математика


Геометрическая перспектива позволила изобразить видимый мир с новой правдоподобностью и точностью, создав художественную революцию в итальянском Ренессансе. Можно было бы утверждать, что перспектива также привела к серьезному пересмотру фундаментальных законов математики.

Математика и искусство
На самом деле, два рельса пути никогда не встречаются. Но, приближаясь к горизонту, они, кажется, сходятся в отдаленной точке исчезновения

Согласно евклидовой математике, две параллельные прямые останутся параллельными до бесконечности и никогда не встретятся. В мире ренессансной перспективы, однако, параллельные линии в конечном счете встречаются на большом расстоянии в так называемой “точке схода". Другими словами, ренессансная перспектива представляет собой геометрию, которая следует регулярным математическим законам, но не является Евклидовой.

Когда математики впервые изобрели неевклидову математику в начале XIX века, они представляли себе мир, в котором параллельные прямые встречаются в бесконечности. Геометрия, которую они исследовали,во многом напоминала ренессансную перспективу.

Неевклидова математика с тех пор перешла к исследованию пространства, имеющего 12 или 13 измерений, далеко за пределами мира ренессансной перспективы. Но стоит спросить, не облегчило ли искусство эпохи Возрождения этот первоначальный скачок.

Хаотичные картины Поллока


Интересный современный пример искусства, которое нарушило традиционные границы – и которое имеет наводящие на размышления параллели с недавними достижениями в математике – это картины Джексона Поллока.

Тем, кто впервые столкнулся с ними, картины Поллока казались хаотичными и бессмысленными. Со временем, однако, мы пришли к выводу, что у них есть элементы порядка, хотя и не традиционные. Их формы одновременно предсказуемы и непредсказуемы, подобно тому, как капает вода из крана. Невозможно предсказать точный эффект следующей капельницы. Но, если мы наметим схему капель, мы обнаружим, что они попадают в зону, которая имеет четкую форму и границы.

Математика и искусство
"Серая Радуга", Джексон Поллок

Такая непредсказуемость когда-то была недоступна математикам. Но в последние годы она стала одной из самых горячих областей математических исследований. Например, теория хаоса исследует модели, которые не предсказуемы, но попадают в определенный диапазон возможностей, в то время как фрактальный анализ изучает формы, которые похожи, но не идентичны.

Сам Поллок не проявлял особого интереса к математике, да и таланты в этой области были малоизвестны. Его увлечение этими формами было интуитивным и субъективным.

Любопытно, что математики не смогли точно описать то, что Поллок делал в своих картинах. Например, были попытки использовать фрактальный анализ для создания числовой "подписи" его стиля, но пока этот метод не сработал – мы не можем математически отличить автограф Поллока от плохих имитаций. Даже представление о том, что Поллок использовал фрактальные мысли, вероятно, неверно.

Тем не менее, одновременно хаотические и упорядоченные паттерны Поллока предложили плодотворное направление для математики. В какой-то момент вполне возможно описать, что Поллок делал с математическими инструментами, и художникам придется двигаться дальше и отмечать новые границы для исследования.

Если понравилось

Поделитесь своим мнением: